Рассмотрим уравнение Оно имеет решение, когда выражение в одной из скобок равно нулю. Из первой скобки следует, что первый корень Рассмотрим Сделаем замену Тогда:
Вернемся к исходной переменной Отсюда следует, что сумма корней уравнения равна 82.
Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения
Решение.
Сделаем замену Имеем:
Вернемся к замене: Полученное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень. Согласно теореме Виета, произведение корней уравнения равно −27.
Найдем наибольшее целое отрицательное и наибольшее целое положительное решения исходного неравенства. Для этого выполним оценки:
В силу полученных оценок наибольшим отрицательным решением является число −8, а наибольшим положительным — число 4. Их произведение равно −32.
Уравнения смешанного типа, разные вопросы об уравнениях
i
Найдите увеличенную в 25 раз сумму квадратов корней уравнения
Решение.
Пусть тогда
Корень посторонний. Далее получаем:
Корни уравнение (**) отличны от нуля, условие (*) выполнено. Дискриминант уравнения (**) положителен, оно имеет два корня. Получаем:
Рассмотрим второе уравнение совокупности. Так как то Подставив полученные числа в исходное уравнение, получим: Следовательно, корни второго уравнения не являются решением. Решим первое уравнение и получим два решения: и
Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства
Решение.
Пусть тогда
Разделим обе части неравенства на 28a > 0, получим:
Заметим, что левая часть монотонно возрастаем на всей области определения, а правая монотонно убывает. Следовательно, при a = 0 левая и правая части неравенства равны, значит, неравенство верно при Тогда
Наименьшее целое решение равно −6, а количество всех целых решений неравенства — 12. Произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства равно −72.